Вот это интересно, ещё бы картинок побольше. Можно ссылку на фундаментальный труд?

Начало здесь http://fuller.domes.pro/

Что-то я как-то подъустал от ваших насмешек - лучше продолжу свою работу.
А картинки УГЛОВ с их мерами, и в инете в избытке. Мне даже сказали, что угол- это фигура ... ну тогда и отрезок - это фигура; а для координации любой фигуры необходимы координаты всех её "габаритных" точек - у отрезка точек две, у угла - три?
Для координации любой точки необходима система (мерных)осей с общей точкой отсчёта "0".
Точка - это "бусина с дыркой, в поисках на какую бы ей ось сесть - ориентация".
Ось системы - это "леска, с насаженными на неё бусинами, она не обязана быть безупречно прямой, она может быть и ломаной, и окружностью, и винтом, и спиралью ... какой угодно."
Одну точку может пронзать скольугодно осей, при этом точка всегда потенциальный центр (ориентир; точка отсчёта) систем, относительно которых ведётся координация ... фигур.
Противоположность (противо'направленность) - первичное понятие "угла";
если две точки(сферы) касаются друг друга - точка касания делит отрезок на два (по середине), что и приводит к противоположности двух образованных отрезков и их прямолинейности (но ось может быть и дугой ... не проходящей через точку касания).
Для 3х точек - осей может быть и одна - окружность, и две - угол, и три - треугольник ... и больше.

Кстати, совершенно не обязательно городить огород из векторов-рёбер тетраэдра-диагоналей куба и положительно-отрицательных тетраэдров - вполне достаточно основать систему 3х осей, соединяющих 3 пары противоположных, перпендикулярных(!) друг другу рёбер одного тетраэдра, по их серединам (точкам касания сфер - вершины октаэдра).

Ваши мысли во многом схожи с идеями Фуллера. По поводу сферических треугольников и углов хорошо и доходчиво описано здесь viewtopic.php?f=35&t=1196 . Глава 3
Система координат на основе тетраэдра - здесь http://www.hasslberger.com/phy/phy_6.htm

Если мы используем координаты xyz не для ориентации в известном замкнутом пространстве (например, Декарта), а в пространстве с неизвестным расширением, если наша система из трех осей другими словами не образует один из углов известного пространства, но точка происхождения пространства, проходящего во всех направлениях, исходные три оси больше не достаточны для ориентации. Мы должны удвоить систему, добавив зеркальное изображение трех осей, чтобы описать пространство «с другой стороны угла» (рис.2).

Обычно мы не рассматриваем это действие как удвоение осей, поскольку мы просто присваиваем отрицательные значения одной из сторон, а положительные значения - другим. Но строго, теперь мы имеем шесть осей: плюс x и минус x, плюс y и минус y, а также плюс z и минус z. Тот факт, что плюсовая и минусовая части каждой оси кажутся одной непрерывной осью, не оправдывает их рассмотрения. На самом деле, с целью ориентации, мы должны указать, находим ли мы что-то на оси плюс или на минусовой оси, даже если бы мы решили сделать это, считая положительные числа принадлежать оси плюс и отрицательные к минусу ось. Таким образом, на самом деле мы имеем шесть осей для рассмотрения и для нахождения объекта в пространстве, мы должны определить его положение по отношению к трем из шести осей.

Именно здесь синергетическая геометрия Фуллера предлагает способ упростить нашу задачу. Если мы решили уменьшить число осей от шести до четырех, взяв основную и самую простую стабильную геометрическую фигуру, тетраэдр, как наша точка отсчета, мы можем найти любую точку в пространстве, определив ее положение по отношению к трем из четыре (не три из шести!) осей ссылки. Четыре оси отсчета в этой системе координат являются осями, которые происходят в каждом одной из вершин тетраэдра, пересекающиеся в его средней точке и проходящий через середину каждый из треугольников противоположных этих вершин (рис. 3) , Эти оси координируются с углами 109 градусов, 28 минут.

Я разработал, чтобы сделать эту концепцию более понятной и позволить ее применение как инструмент для мгновенной и интуитивной ориентации в пространстве, систему цветового кодирования, которая объединяет эти пространственные координаты на основе тетраэдра с широко используемым в настоящее время способом цвета разделение для целей печати, так называемый процесс разделения цвета CMYK.

CMYK (голубой-пурпурный-желтый-черный) - это четыре цвета, используемые современными печатными машинами. Сочетание этих четырех цветов в разных процентах создает большое количество разных цветов в почти бесконечном непрерывном затенении. Присваивая один из основных цветов каждой из четырех осей тетраэдра и смешивая их с другими осями, мы получаем на самом деле уникальный цвет для каждого из тысяч или миллионов возможных направлений, которые мы можем захотеть мгновенно идентифицировать , Естественно, мы можем также выразить направление в терминах градусов, минут и секунд дуги относительно трех ближайших осей.

f3_phy6.gif [ 8 Кб | Просмотров: 27925 ]

Dynamic, если можно так выразится, я полез глубже, и не бахваляюсь этим, это не бравада и не самовосхваление.
Да, согласен, что система координирования нынешняя, классическая, декартова, на трёх(шести) осях, намертво засела поголовно у всех людей, но и выкорчёвывать её нет никакой нужды, даже имея альтернативную 4х(8ми) осевую, тетраэдральную систему;
я уже не говорю, скольких трудов, средств, времени... понадобится, чтобы альт.систему взрастить, укоренить и использовать - о ней, по-меньшей мере, знать надо! хотя бы информировать о её существовании - много ли о ней говорят в школе, есть ли о ней информация в образовательных учреждениях вообще? Как ею пользоваться, если мы не знаем о недостатках и преимуществах системы, и навыков работы в/с ней?

Собственно, говоря "глубже", означает что практически любые используемые нами гео. и КиО (Координации и Ориентации) системы, априори используют ПРЯМЫЕ оси (и плоские плоскости/поверхности), что само по себе уже аксиоматично относительно направлено - т.е. задан определённый УГОЛ направления относительно чего-то(точки отсчёта - т.0). Даже порядок (последовательность) точек в линии (оси), уже предусмотрен как одна за другой "по прямой", потому что иначе будет линия ломанной, извилистой... и ориентироваться и координировать по ней вызывает сложности. Всякая прямо'осевая система, обязывает определять и назначать координаты исключительно прямыми линиями, параллельно основных системных осей:
- для линейной 1 осевой - вперёд/назад;
- для плоскости/поверхности, 2 осевой, сеточный - вперёд/назад; влево/вправо;
- для пространственной, 3 осевой, матричный - вперёд/назад; влево/вправо; вверх/вниз;
- для пространственной, 4 осевой, матричный - аналогично в 4х парах направлений;
по сути, любая из пар направлений - это линейная двунаправленная система "туда/обратно", а точка - это кабина лифта размеренно движущегося в определённых направлениях, согласно адресу набираемому координатором(диспетчером).
Беда в том, что считывание или назначение координат происходит проецированием на плоскость из двух осей, значения третьей и уже фиксированным системным меж'осевым отклонением, но меж'осевой и меж'плоскостный углы РАЗНЫЕ - проекционный угол между осью и противоположной плоскостью не учитывается, как не учитывается и то, что угол обязательно многогранный (для плоского угла он двойственен 180°/180°; 90°/270°; 60°/300°... каков тогда угол пространственный, 3х осевой, как его считать?).
Есть и другие проблемы, требующие разрешения.

Многие люди до сих пор путают, относительно чего мерить "плоский" угол.
И потому в многоугольниках(особенно в правильных) угол мерят по шаблону (относительно общего центра(т.0) и дугой между радиусами(лучами) из него), при этом т.0 шаблона, прикладывают естественно к вершине измеряемого "угла"(вершине многоугольника), что находится на описываемой окружности, а не в центре её (а это подмена положения точки отсчёта - т.0), что приводит к росту суммарной величины углов многоугольника, хотя она должна быть постоянной - 360°, т.к. линия (ломаная) замкнута в "сумму дуг" одной окружности(для правильных многоугольников).
Так чем мерится угол? - разве не линейной мерой дуги или её хордой-прямым отрезком?
- называемых градусами и (тем более) радианами.

Неважно где находятся вершины треугольника на описываемой окружности, главное что угол - это дуги с общим центром, делящих окружность по кол-ву исходящих из него лучей к вершинам треугольника и сумма величин углов не 180°, а как и положено 360°. Угол_90-240-180-120.jpg [ 264.92 Кб | Просмотров: 27895 ]

Угол — это дуга окружности;
если на окружности 1 точка и соответственно 1 луч к ней — 1 угол/дуга - полные 360°;
если на окружности 2 точки, то и соответственно 2 луча к ним — 2 угла/дуги; важно не путать точку отсчёта(т.0) и точку на окружности, точку дуги, ... на окружности;
есть угол/дуга треугольника и шестиугольника — они разные. Прямо'линейная мера (хорда) может быть одинаковой,
но угловая мера (дуга) этой хорды ... очень даже разная.

Прошу прощения и каюсь, что нёс "ахинею", попутав понятия [угла] и [меры угла].
Тем не менее, мне лично, эта оплошность помогла разобраться со многими другими вопросами.

Внутренняя и внешняя систематизация (построение структуры пространства).

Радиус [р-Сферы] - мера абсолютной противоположности [центра] и её оболочки-поверхности;
поверхность и центр сферы всегда равноудалены относительно друг друга - внутренняя одномерная система (1R).
Две одномерные(1R) р-Сферы образуют только [отрезок прямой] - внешняя одномерная система (1D').

Два абсолютно противоположных друг другу направления(луч, вектор) - внутренняя двумерная система (2R).
Две абсолютно двумерные(2R) р-Сферы образуют только [линию прямую] - внешняя двумерная система (2х1D').

Три абсолютно противоположных друг другу направления (луч, вектор) - внутренняя трёхмерная система (3R).
Три касающиеся друг друга, двумерные(2R') р-Сферы образуют (треугольник) [плоскость] - внешняя трёхмерная система (3х2D').

Четыре абсолютно противоположных (независимых) направления - внутренняя четырёхмерная система (4R).
Четыре касающиеся друг друга трёхмерные(3R') р-Сферы образуют [объём] - внешняя четырёхмерная система (4х3D').

Не надо путать внутреннюю систематизацию
4R -> 4-угольник и 4-гранник;
6R -> 6-угольник и 6-гранник
- они разные! только одна из них абсолютная - тетраэдр.

Несколько видов "плоской, 2-мерной" сетки (на плоскости "Сверху"), с трансформируемой (по полярной оси А[Y]) 6-угольной ячейкой, из пар 3R'(p-Сфер), с R-векторами в виде "1-мерных" брусков.
Указанные углы найдены "на глазок".

Сетка 3R' 111''_.jpg [ 274.96 Кб | Просмотров: 27209 ]

... тоже сетка, но с 4-угольной ячейкой из 4R'(p-Сфер). Углы также найдены эмпирически.

Сетка 4R' 81'_.jpg [ 285.33 Кб | Просмотров: 27178 ]

Сворачивание/разворачивание "плоскости" 4х(3R') в/из "сферу"
— плоскость/объём (тетраэдр ["полу'куб" и "1/5 додек"]).

4x3R(575_).gif [ 258.43 Кб | Просмотров: 26994 ]

... тоже самое с 8х(3R') - из "плоскости" в "сферу" и обратно ...

8x3R(540_).gif [ 285.91 Кб | Просмотров: 26994 ]

... тоже самое с 20х(3R') - из "плоскости" в "сферу" и обратно ...

20x3R(560чб_).gif [ 256.63 Кб | Просмотров: 26994 ]

Пожалуйста, Кто может помочь разобраться. Хочу построить купол диаметром 18 метров. Долго разбирался в существующих конструкциях. На ссылке привожу элемент конструкции. Задача как мне кажется геометрическая, но до конца не могу разобраться, что иду в правильном направлении. Ребро купола один метр. Таким образом окружность основания поделится на 56 сегментов. Далее 5 ребер одинаковые, а шестое будет меньше. Размер шестого ребра определяется путем деления окружности соответствующего высоты на 56 сегментов. Сейчас моделирую в архикаде, но очень трудоемко. Не понятно, как будет выглядеть ближе к фонарю. шестиугольник (гексагон) у меня точнее симметричный многоугольник в котором пять сторон одинаковые, а пятая меньше.( размер вычисляю экспериментальным путем, к сожалению.) На втором рисунке видно, что поднимаю шестиугольник со второго на третий уровень изменяя положение в пространстве вписываю его в сферу. Потом измеряю размер верхнего ребра.
viewtopic.php?f=8&t=1259

геометрия 3.jpg [ 173.22 Кб | Просмотров: 26605 ]

геометрия 2.jpg [ 240.57 Кб | Просмотров: 26605 ]

На виде сверху в каждую из концентрических окружностей вписать многоугольник, и постепенно уменьшать количество сторон, чтобы в центре оставался лишь один шестиугольник, который будет в фонаре.

При таком раскладе(методе построения), в центре(фонаре) останется лишь точка(геометрическая), в которой сходятся все "меридианы".
[... уменьшать количество сторон ...] - вероятно опечатка?
может уменьшать длину сторон (и одной из ...)!?
У меня были пробы другого метода (построения начинать с макушки[фонаря], по параллелям)
... до сих пор не решённые.

прямо-сферический 3(6)-уг.jpg [ 146.78 Кб | Просмотров: 26579 ]

Именно что уменьшать количество сторон, и подбирать вручную от периферии к центру.
Сначала все многоугольники будут различаться лишь диаметром описанной окружности, повторяя то число углов, что было в основании, а ближе к центру (верху купола) – надо их стараться сокращать.
В зависимости от того, что именно должно быть наверху – пяти- или шестиугольник, число сторон многоугольника у основания должно быть кратным.
И строить лучше через треугольники – для простоты, потом отсечь всё лишнее и будет счастье.
Например – 24-угольник снизу, 6-угольник сверху:

Solaries, спасибо, теперь понятно, что уменьшается число сторон концентрических окружностей-многоугольников ("параллелей"), а не число сторон граней многогранника-купола.
Жаль что много разных граней получается, не говоря уже о длинах сторон(рёбер) этих граней - сложно, но идейно (вариант о котором не знал).

Я не понял почему купол с верху должен заканчиваться шестикгольгиком, а не 8-ми угольником ил и 12-ти и даже 24-х угольником?

Это был просто пример – как можно сократить число сторон. А заканчиваться может как угодно – хоть 56-угольником, в пределе уходящим в точку.

Природа по своему решает такую задачу.... Кактус маммилария к примеру